Számelmélet - 2023 őszi

A 2, 4, 6, 8, 10 szamok felhasznalasaval az osszes lehetseges modon kepezzuk azokat a kettenyezos szorzatokat, amelyekben az elso tenyezo kisebb, mint a masodik. Az igy kapott szorzatokat osszeadjuk. a) Szamitsa ki ezt az osszeget! Legyen k tetszoleges 1-nel nagyobb pozitiv egesz szam. Jelolje S_k azt az osszeget, amelyet a kovetkezo eljarassal kapunk: az 1, 2, 3, ..., k szamok (az elso k db pozitiv egesz szam) felhasznalasaval az osszes lehetseges modon kepezzuk azokat a kettenyezos szorzatokat, amelyekben az elso tenyezo kisebb, mint a masodik, majd a kapott szorzatokat osszeadjuk. b) Igazolja, hogy S_(k+1) = S_k + k(k+1)^2 / 2. c) Igazolja (teljes indukciaval vagy mas modszerrel), hogy tetszoleges 1-nel nagyobb n egesz szam eseten S_n = (n-1)n(n+1)(3n+2) / 24.